第卷第年期月湖南大」学民学才金融工程中的最优化模型谢赤湖南大学国际商学院中国长沙摘要对金融工程中最主要的种最优化模型即抵押清算模型抵钾债务构建模型总收益成形模型分别进行了评价与分析关键词分类号金融工程最优化模型证券哪反比力矛卯昭兀刁叩浏飞记呢川飞司最优化方法在金融领域的应用主要在两个方面一是在风险管理方面二是在金融工程方面文献「详细论述了金融风险管理中的最优化模型本文仅就应用在金融工程中的最优化模型作一讨论抵押清算模型两个原始证券商联邦证券机构和投资银行之间的回抵证券入叮犯的交易和清算由于统一性的原因而受到一套严密法规的约束实际上既可以即期清算在交易日后五个工作日内也可以远期交割远期交割清算常常被具有尚未人库的抵押物的开证人所采用因而人库信息便建立在要被公布的基础之上除非人库失败这时总价值必然为规则“”“”与一个集合的序数批数相对应的人库的价值必须处于协定的下限与上限之间设表示库仓集合的序数表示表示批数集合的序数的批数的规模。表示交割的协定方差表示湖南省自然科学基金课题收稿日期第一作者谢赤男岁副教授© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net第、期谢赤金融工程中的最优化模型为二元决策变量它表示的批数的批数一,或者已交割的价值,、或者还未交割、珠表示从库仓一。,分配到无,于是交割条件便可以写成镇习珠镇。乙,,一,,这里如果规则有,则上述不等式两端的值都为因此它们所限定的值必定也为“”否则该值一定界于两个既定界限之间调整后的库仓面值既可用于配置也可被留存下来称作装箱表示留存的库仓刀。用于将来的配置或其他商业活动设的数量,表示库仓的被调整面值则艺习规则,,,对大量的其他约束条件配置方式必须由二元决策变量来表示以表明一个库仓是否被配置给一特定的批数为了确定这些决策变量孙可以采用以下约束珠则川可能为,,。,,‘,、、如果配置的价值为正值则上述约束条件只是置决策变量或为如配置的价值为负值“”规则库仓必须在配置中实现多样化特别地仅仅使用所谓三级库仓是非法的即延期交割的库仓带有极高的风险艺护一,这里表示三级库仓的集合“”规则“库仓必须以一原始面值的给定量小数量以”表示来配置并且以原始面值的一定量为步幅以。表示递增注意到配置的价值以调整后的面值衡量因此为了转为库仓的原始面值于是被配置的原始面值就为换为原始面值定义次定义珠马。其失为二元决策变量配置或不配置起始部分,哪、为随后要配置的各部分的数量它是一个整数变量表示的残留部分尾部弄为二元决策变量,‘配置或不配置收尾部分,几为以原始面值的大小这样衡量条件便可写成巧规则,,。“呈”,,。,,弄库仓的尾部“”在任何情况下都不能分割因此尾部各部分或者被完全配置或者被完全装箱艺习二这里,“舒毛对一给定库仓装箱“”笋表示二元决策变量规则或不装箱“”上述分割规则不仅对“”的配置有效而且对所装箱的也有效定义“”为二元决策变量对第一部分装箱,,或不装箱“”为反映被装箱夕“”的附加部分的数淤量的整数变量则分割规则由下式反映,严“”、咪“”咪的库仓必须在第一部分被配置或装箱“规则此外配置的步幅和装箱后才© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net湖南大学学报年有效,‘簇心成这里腼男呱尹为大数如果库仓要被配置给一个以上的批数或者没有完全配置给一个独立批数规则仓装箱“”则它必须被分割为方便起见使用两个辅助变量或全部库仓没有装箱““”,表示一个二元变量如只有部分库“”它等于”如所有库仓都装箱则等于增也表示一二元变量如部分或全部库仓装箱是由下式决定的它等于如箱内全部空了则等于这两个变量冻,,一,,,带一一。,由这两式不难看出若全部库仓都保持在箱内或全部都不在箱内则有割冻,十带否则嵘‘冻二我们可以利用这一点来决定分割设,为二元变量库仓分割或不分为配置中批数的总量于是孙由下式给定艺艺规则这里,,,珊,一蕊‘,,内,当某个库仓大于或等于最小需求价值时则它是大瓦“”的即必须有儿咋一一。几,轰为二元变量某一批数被或不被一单独库仓装满当某两个库仓值至少与配置下限一样大时则它们是大几“”的可由下式表示乳“阵汉阵、,,,一一。,这里乙为二元变量一大的双库配置或不配置给某批数不多于一特定数量的库仓可以配置给某一批量对”规则仅有个库仓可供配置于是有第一个条件习如这里,镇,,表示允许在一个批数中的最大库仓量此外如一单独库仓是大两,“”的则仅仅只有这个库仓能被配置艺毛十一,,,‘、、进一步如两个库仓加在一起是大“”的则只是这两个库仓可使用在一给定批数中,‘艺规则、,簇一孔以利润最大化为目标它等于被配置量乘上协定远期价格与交割时的市场价格之间的差再减去分割库仓的成本设场价格可表示的远期价格严表示￡的市表示分割库仓、的成本则可得到最优化模型习艺艺耳一。一严,,巧,一艺踢‘毛,,一镇艺珠镇无,一,,© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net第期谢赤金融工程中的最优化模型,云习咋咋习珠氏,,一户‘簇。,孙,,,,一咋十习艺益笋镇““,,了。“两丁甲“对。仇户一严夕夕呱男嵘毛呱严界‘,哪、镇一,,增习习如异一,。一。。嵘竹,‘十增阵,一镇,,,儿,乙,一一,咋,,、,一一。与艺习艺,,毛川簇镇一儿、一乙、这显然是一个极为复杂的混合系数整数规则问题用一般的整数规则软件无法对其求解一般只是认为启发式步骤也许会有助于本问题的解决抵押债务构建模型以抵押品作抵的债务昭新构建从基于抵押品之上的抵押到一组具有不同期限的高质量债券的现金流这些债券将按照公布的期限并且可能以公布的优先权陆续购回这样具有最低期限的债券在其他债券偿还前被全部购回在偿还期间所有负息债券都有利息收人为了抓住最优化问题的本质我们下面来讨论一个描述具有以下一般结构的的构建模型—的基本思路是重大量具有不同期限和债息的正常债券它们按照其期限依次被购回“”一个单独应计份额即在所有上述债券被全部购回之前得不到本金支付的债券这里未偿还本金自始至终都要加上利息在结构中引人一个应计份额使得发行者能够将更多的现金支付分配给短期债券因此以具有低收益份额来发行大部分的所有超额现金流净服务费的残值接受来自抵押物构建模型的目标是通过选择各个份额的大小使保险收益即上述份额的总现值最大化债券的发行必须满足上面提及的各个约束© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net湖南大学学报年为了得到其它约束条件我们先考虑数中的现金流会计问题设表示份额组序‘为在时刻每一份额的未偿还本金‘为时刻份额的本金支出“为份额的定期债息率根据定义本金支出对应计份额而言可以为负值应分期偿还未偿还本金‘、‘‘一一“而总现金流又是由利息支出和本金支出组成的,,声,,一,,‘此外现金流与基于抵押品的现金流有关所有来自抵押的可调整本金支出被的正常份额和应付额设分配给表示正常份额的子集合一表示应付份额八表示来自抵押的可调整本金支付则有艺九二八、‘一这里等式右边后两项覆盖了对应付份额的贡献我们还需要确定本金支付只被弄成一个份额的情况为了说明这一点设变量如份额小于服务费毛‘为二元在时刻‘被分期偿还它等于‘否则等于叽为来自抵押的期望现金流则对正常份额有协成望‘。‘‘,,协乞‘由于于是设是顺序发生的所以来自抵押的所有现金流小于服务费都被分配给‘为在任何时点上对残值的支付则有,,艺份额的尺‘喊之上的约束条件设在此基础上我们可以确定基于加权平均寿命叭为对低限评为高限则有毛习,。镇风矩阵则顺序由以下各式确定,,下面我们提出顺序要求导人变量多,夕夕‘少一夕,这组约束表明一旦某一份额停止分期偿还它以后就不能重新购回并且短期限份额在长期限份额之前购回此外还有一项约束保证了在某一时刻只有一份额购回艺‘其他约束就比较明了了一是正常份额不能计人利息或者换句话说其本金支出必须是非负的二是到期末所有份额都必须购回三是未偿付差额和现金必须总是非负的,,,妻、,了勺白,、、最后我们将目标确定为使收益尸实现最大化,一‘习艺,‘艺尺‘一‘这里‘和分别表示份额和残值的收益综上所述我们不难写出一个完全的混合整数规则模型© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net第期谢赤金融工程中的最优化模型十,一‘艺艺‘,习尺‘,。一‘一一‘一‘习九‘,八。、二,。‘一一,,簇八‘,簇二‘,‘毛八,艺尺,一气叭少,,镇夕,艺‘簇瓦一艺九、一‘毛丁以,,‘异丛‘不难看出这一模型非常复杂并且求解也十分困难这主要是因为它包含有许多二元变量同时运用现有的混合整数规划软件求解也不理想特别如果将其他份额形式也包括进来的话问题会更加复杂这一部分也被认为是金融最优化中的一个开放性问题总收益成形模型固定收人证券领域中的一些新工具都具有关于未来收益不确定的特征在大多数情况下现金流的变化受利率变动的影响很大于是浮动利率证券通常在息金被支付以前就安排一个参照利率指数而确定的息金支付方案与利率期货和期权有关的现金流也受利率变动的影响一般说来有规则的平直型债券的表现通过简单的综合性指标如价格期限等就可以较好地描述但对大多数衍生证券而言情况就没有这么简单了利率的一个很小的变动就可能给粥的期限造成很大的影响因此应用收益总分布来描述新的固定收人工具就显得十分迫切了这里我们将就采用一般固定收人衍生品的资产负债管理提出一个框架下面首先对不确定条件下的证券估价作一简要描述然后再提出总收益成形的最优化模型考虑一个未来短期利率事先已知的确定情况其中支付价格以回归确定设二和发生时间都可表示时刻二的每期利率则到期前一期支付的价值为一尸二一一’类似地到期前两期支付的价值为一一一一‘二一一‘二一一’依此类推现值则为尸。一,这样我们便得到了按照某一特定利率条件所发生的某个支付的现值实际上对其它© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net湖南大学学报年利率条件也可以做同样的工作于是我们可以写出按照一组利率条件所发生的某种证券的现值分布习其中现值。习。一,表示利率条件集合为支付日期中的某一利率条件序数下日期为条件下证券或证券组合的下时刻为条件时的支付额为条件的单期远期利率式为我们提供了按照每一利率条件的证券定价方法为了找到公平的证券价格“”可以利用所谓局部期望假定这一理论其基本含义是在均衡状态下证券应按照能使局部期望收益率等于风险利率的原则来定价也就是说均衡价格等于包含所有利率条件的期望现值于是有其中表示期望值显然如果所有可能的利率条件及其概念都已知则证券价格便不难找到但问题是通常情况下利率却被假定是随机的于是证券定价的难点便在于如何找到远期利率的合适的随机过程常用的几种方法包括扩散过程平均回复过程跳跃过程等随机过程一旦确定便可以用它来模拟出一组远期利率条件使用现金流模型产生出并且分别确定价格和现值分布状况在按照不同远期利率条件建立起证券价值组后便可将其用来成形证券组合收益分布状况下面我们考虑一个与免疫模型有关的简单情形目标是构建一个在考虑利率敏感性条件下的使负债最小化的资产组合同时我们还希望找到能保证在所有利率条件下净值均非负的最小成本组合设示条件表示条件下证券的现值八表示证券的价格表下的负债值则上述最优化问题可表达成岁整哥艺矛二任值得注意的是在上面这个线性规划模型中并没有包含对持有量的非负约束其原因是大多数衍生工具和不列人资产负债表的工具都能够在不受任何限制的情况下卖空参考文献谢知赤金融风险管理中的最优化模型预测郎一分司段侧司二块即斗比叩一© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net